Возмем интеграл

Попробуем отыскать интеграл вида . Искать будем используя теорию вычетов. На том что такое вычет я останавливаться не буду. Если кто не знает или не помнит, могу порекомендовать главу посвященную комплексному анализу из второго тома учебника Куранта, там не много, за-то Курант особенно не на что не отвлекаясь, идет прямо к вычетам, которые нужны ему как способ вычисления вещественных интегралов.Наш интеграл как раз вещественный, и хорошо с помощью этой теории вычесляется.
Рассмотрим круг с центром в начале координат, и рассмотрим ту его часть которая лежит выше оси икс. Будем брать интеграл от нашего подынтегрального выражения по границе выбранной области. Границу разобьем на две части, полуокружность и отрезок праямой, и будем увеличивать радиус. Тогда, очевидно, интеграл по отрезку будет стремиться, к тому интегралу который мы желаем найти, а интеграл по полуокружности будет стремиться к нулю. И вот почему, представим на полуокружности интеграл ввиде модуль этого интеграла не превосходит , а потому стремиться к нулю, когда радиус уходит в бесконечность. Минимальный радиус, с которого можно начинать, должен включать в себя все вычеты, и в нашем случае должен превосходить единицу, потому что вычеты берутся в корнях 2n-ой степени из минус единицы. Всего таких корней 2n. Вверхней полуплоскости лежит половина из них, вот сумма их вычетов и даст нам значение интеграла. Корни имеют, как не сложно понять вид , k следует брать от 1 до n. Все это полюсы первого порядка, а потому найти вычеты можно продифференцировав знаменатель и найдя значение получившейся функции в этих точках, помноженное на . И тогда можно написать . Собственно, это и есть ответ, далее идет сплошное жонглирование формулами, что-бы получить формулу по красивее. Но, чем мне и нравятся комплексные числа, они позволяют очень ловко производить манипуляции, почти на грани волшебства. Что же, первое колдунство, которое мы совершим это выпишем ряд ввиде , как видно мы просто поменяли местами показатели степеней, и вынесли получившуюся минус единицу. Чтобы лучше понять, что у нас получилось обозначим и тогда . А это уже не высшая математика и даже не средняя школа, а девятый класс, геометрическая прогрессия, сумма членов которой будет равняться . А потому в числителе будет , вот так ловко упростился числитель. Это было колдунство номер два. Теперь колдунство номер три, преобразование знаменателя. Вообще это преобразование так же не требует знания высшей математики, за исключением знания формулы Эйлера. Школьная тригонометрия и ничего более. Действительно, разложим косинус по формуле двойного угла, точнее вот по этой формуле , чтобы единицы сократились, а так же разложим синус по формуле двойного угла . А теперь двойку с синусом вынесем и в результате получим . Надо сказать вот это разложение косинуса мне в свое время в голову не пришло, и я мучился с умножением на сопряженное, а так получается очень красиво. Осталось последнее, в знаменателе образовалась штука очень похожая на формулу Эйлера, только перепутаны местами синус и косинус, чтобы все привести в порядок, домножим числитель и знаменатель на мнимую единицу . В числителе и знаменателе многое сократилось! Ну и умножая на то, что мы выносили, получаем ответ . Ответ вполне вещественный, как того и следовало ожидать.