Возмем интеграл

Попробуем отыскать интеграл вида . Искать будем используя теорию вычетов. На том что такое вычет я останавливаться не буду. Если кто не знает или не помнит, могу порекомендовать главу посвященную комплексному анализу из второго тома учебника Куранта, там не много, за-то Курант особенно не на что не отвлекаясь, идет прямо к вычетам, которые нужны ему как способ вычисления вещественных интегралов.Наш интеграл как раз вещественный, и хорошо с помощью этой теории вычесляется.
Рассмотрим круг с центром в начале координат, и рассмотрим ту его часть которая лежит выше оси икс. Будем брать интеграл от нашего подынтегрального выражения по границе выбранной области. Границу разобьем на две части, полуокружность и отрезок праямой, и будем увеличивать радиус. Тогда, очевидно, интеграл по отрезку будет стремиться, к тому интегралу который мы желаем найти, а интеграл по полуокружности будет стремиться к нулю. И вот почему, представим на полуокружности интеграл ввиде модуль этого интеграла не превосходит , а потому стремиться к нулю, когда радиус уходит в бесконечность. Минимальный радиус, с которого можно начинать, должен включать в себя все вычеты, и в нашем случае должен превосходить единицу, потому что вычеты берутся в корнях 2n-ой степени из минус единицы. Всего таких корней 2n. Вверхней полуплоскости лежит половина из них, вот сумма их вычетов и даст нам значение интеграла. Корни имеют, как не сложно понять вид , k следует брать от 1 до n. Все это полюсы первого порядка, а потому найти вычеты можно продифференцировав знаменатель и найдя значение получившейся функции в этих точках, помноженное на . И тогда можно написать . Собственно, это и есть ответ, далее идет сплошное жонглирование формулами, что-бы получить формулу по красивее. Но, чем мне и нравятся комплексные числа, они позволяют очень ловко производить манипуляции, почти на грани волшебства. Что же, первое колдунство, которое мы совершим это выпишем ряд ввиде , как видно мы просто поменяли местами показатели степеней, и вынесли получившуюся минус единицу. Чтобы лучше понять, что у нас получилось обозначим и тогда . А это уже не высшая математика и даже не средняя школа, а девятый класс, геометрическая прогрессия, сумма членов которой будет равняться . А потому в числителе будет , вот так ловко упростился числитель. Это было колдунство номер два. Теперь колдунство номер три, преобразование знаменателя. Вообще это преобразование так же не требует знания высшей математики, за исключением знания формулы Эйлера. Школьная тригонометрия и ничего более. Действительно, разложим косинус по формуле двойного угла, точнее вот по этой формуле , чтобы единицы сократились, а так же разложим синус по формуле двойного угла . А теперь двойку с синусом вынесем и в результате получим . Надо сказать вот это разложение косинуса мне в свое время в голову не пришло, и я мучился с умножением на сопряженное, а так получается очень красиво. Осталось последнее, в знаменателе образовалась штука очень похожая на формулу Эйлера, только перепутаны местами синус и косинус, чтобы все привести в порядок, домножим числитель и знаменатель на мнимую единицу . В числителе и знаменателе многое сократилось! Ну и умножая на то, что мы выносили, получаем ответ . Ответ вполне вещественный, как того и следовало ожидать.

Разложение тангенса.

Сразу оговорюсь, что в статье пойдет речь о разложении тангенса в нуле, то что во многих учебниках называют разложением Маклорена .

Ну и все функции будут бесконечно диффиренцируемы там где нам надо.

В то время как большинство других простейших элементарных функций достаточно легко разлагаются в ряд Тейлора и закон по которому образуются члены разложения чаще всего не сложен и просто угадывается, для тангенса это не так. Хотя казалось бы, последний есть всего лишь отношение синуса к косинусу, функций с которыми не возникает никаких проблем при разложении. А между тем, чтобы указать вид общего члена для тангенса, нам придется начать несколько издалека и применять искусственные приемы. Но, на практике, зачастую и не требуется знать все кооффициенты ряда, достаточно лишь нескольких членов разложения. С такой постановкой задачи, студенты встречаются чаще всего. Так что, с нее-то мы и начнем. Чтобы особенно не утруждаться, разложение будем искать до кооффициента при пятой степени.

Первое, что здесь приходит в голову, это попытаться использовать формулу Тейлора непосредственно. Зачастую народ, попросту, не имеет никакого представления о других способах разложения в ряд. Кстати, наш семинарист по мат. анализу, на втором курсе, искал разложение именно так, хотя ничего плохого про него я сказать не могу, дядька умный, может он просто хотел показать свои способности во взятии производных. Как бы там ни было, а брать производные высоких порядков от тангенса удовольствие еще то, крайне муторное занятие, как раз из тех, что проще доверить машине, а не человеку. Но, нас, как настоящих спортсменов, интересует не результат, а процесс, и желательно, чтобы процесс был по проще. Производные такие (вычисленно в системе maxima): , , , , . Кто считает, что производные легко получить вручную, пусть займется, надосуге. Как бы там ни было, теперь мы можем выписать разложение: .

Упростить здесь можно вот что, замечаем, что и так, первая производная от тангенса выражается через тангенс же, кроме того из этого следует, что и все остальные производные от тангенса будут полиномами от тангенса, что позволяет нам не мучатся с производными частного от синусов и косинусов:
,
,
,
.
Разложение, понятное дело, получается тем же самым.

О другом способе разложения в ряд я узнал непосредственно на экзамене по мат. анализу и за незнание этого метода я тогда получил хор. вместо отл.-а. Смысл метода состоит в том, что нам известно разложение в ряд и синуса и косинуса, а так же функции , последнее разложение позволяет найти разложение секонса: . Раскрыв скобки мы получим ряд, который нужно перемножить с разложением синуса. А теперь нам нужно просто перемножить два ряда . Если говорить о сложности, то мне сомнительно, чтобы она уступала первому методу, тем более, что объем вычислений быстро растет при повышении степени членов разложения, которые требуется найти.

Следующий способ, это вариант метода неопределенных кооффициентов. Поставим для начала вопрос, а что нам вообще известно про тангенс из того, что может помочь нам построить разложение, так сказать a priori. Самым важным, здесь является то, что тангенс функция нечетная, а следовательно все кооффициенты при четных степенях равны нулю, иными словами, нахождение половины кооффициентов не требуется . Тогда можно написать , или , разлагая синус и косинус в ряд, получим . И приравнивая кооффициенты при одинаковых степенях получим , , и в общем случае . Таким образом, с помощью итерационного процесса, мы можем найти любое количество членов разложения.

Четвертый метод, также является методом неопределенных кооффициентов, но для него нам не потребуется разложение каких-либо иных функций. Мы рассмотрим диффиринциальное уравнение для тангенса. Выше мы видели, что производная от тангенса может быть выражена как функция от тангенса . Подставляя в это уравнение ряд из неопределенных кооффициентов можно написать . Возведя в квадрат и отсюда, опять же, итерационным процессом можно будет найти кооффициенты разложения.

Эти методы не в пример проще первых двух, но найти выражения для общего члена ряда таким образом не выйдет, а хотелось бы. Как я и говорил в начале, начать придется издалека (я буду следовать учебнику Куранта). Начнем мы с разложения в ряд функции . В результате, мы получим ряд, который будет записан в виде , где числа , это числа Бернулли.
Изначально эти числа были найдены Яковом Бернулли при нахождении сумм m-тых степеней натуральных чисел . Казалось бы, причем здесь тригонометрия? Позже Эйлер, решая задачу о сумме обратных квадратов ряда натуральных чисел, получил ответ из разложения синуса в бесконечное произведение. Далее оказалось, что разложение котангенса содержит суммы вида , для всех натуральных n. И уже исходя из этого Эйлер получил выражения для таких сумм через числа Бернулли. Так что связи здесь есть, и не следует удивляться, что разложение тангенса содержит данную последовательность.
Но вернемся к разложению дроби. Раскладывая експоненту, вычитая единицу и деля на "x", мы, в конце концов, получим . Отсюда уже очевидно, что первое из чисел Бернулли равно единице, второе минус одной второй и так далее. Выпишем выражение для k-того числа Бернулли, начиная с единицы . Умножив это выражение на , перепишем выражение в следующем виде . А из этого выражения мы можем по очереди получать числа Бернулли, в частности: , , , , , ... Если далее продолжить вычислять члены последовательности, то можно заметить, что все нечетные числа Бернулли равны нулю, кроме . Покажем, что это действительно так. Идея проста, мы перенесем член разложения с кооффициентом в лево и покажем, что там получится четная функция. Действительно: А заодно, мы получили разложение гиперболического котангенса половинного угла. Подставим , получим , выражение справедливо при . А вот теперь потребуются знания о комплексных числах. Подставив в полученную формулу , так что , получим . Осталось последнее, из котангенса получить тангенс. Применим искусственный прием , а отсюда уже окончательно получаем
Сомнительно, чтобы кто-то непосредственно из этой формулы стал вычислять кооффициенты разложения, но тем не мение, теперь мы знаем общий вид членов разложения и почему они именно такие.