формула разложения функии в окресности точки "а", причем требуется n+1 кратная дифференцируемость фукции в этой окресности, последнее слагаемое называют остаточным членом, записывать его можно во многих формах.
Сомневаюсь, что найдется кто-либо, кто увидев это равенство впервые в жизни сказал бы, что оно вполне очевидно. Но проблема даже не в этом, а в том что и после вызубривания доказательства вся эта конструкция не сильно проясняется. Впрочем, следует уточнить, пока я ничего особенного не сказал, с потолка взял некоторую сумму, а чтобы она не отличалась от функции, прибавил к ней остаточный член. "За всю Одессу" я конечно говорить не могу, скажу за себя. Смысл доказательства, которое читали нам, состоял в том, что явно указывался вид остаточного члена, в так называемой форме Шлемильха-Роша:
где 
некая промежуточная точка.Вот это уже надо доказывать, смысл чего состоял в том, что бралась некая вспомагательная функция (опять же взятая как будто с потолка), показывалось, что она удовлетворяет теореме Ролля, а из этого уже следовал вид остаточного члена.
Что мы после всего этого уяснили? Да по сути ничего. Откуда взялось само разложение? Взято с потолка, тогда почему именно оно? Откуда взялся вид вспомогательной функции в доказательстве? Он совершенно не естественнен и не откуда не вытекает.
Не сложные по сути рассуждения, на самом деле породили серьезную проблему, при всей их правильности смысл разложения Тейлора остался не понят. А между тем, смысл есть. Пойти можно двумя путями. О первом рассказывать не буду, он мало отличается от описаного выше, кому интересно могут почитать учебник Куранта, с моей точки зрения, лучший учебник по мат анализу, из всех что я читал. А второй путь состоит в том, чтобы явно из
получить формулу Тейлора (последующие рассуждения так же можно найти в учебнике Куранта).По формуле Ньютона-Лейбница:
Проинтегрируем правую часть равенства по частям, с учетом того, что
тогда
Вот мы и получили второй член разложения ряда Тейлора, впрочем сам член мало интересен, его можно и без всякого Тейлора найти, но мы заодно получили и явный вид остаточного члена и, что самое главное, теперь понятно как действовать дальше, надо просто еще раз проинтегрировать по частям. На последок, выпишем остаточный член в общем случае
Комментариев нет:
Отправить комментарий