Вычисляем корни.

Старик сосредоточенно набивал трубку, а за его спиной в безоблачном небе величаво поднималось солнце, освещая своими лучами радиоактивную землю. Юноша терпеливо ждал, когда наконец учитель соизволит обратить на него внимание. Шел двадцать четвертый день обучения, именно тогда три с лишним недели назад их община узнала, что через полтора месяца, братья ордена Иисуса, собираются провести математический турнир.
Наконец над трубкой взвился дымок и старик прокашлявшись блаженно облокотился на валун.
- Ты узнал, что я тебя просил? - глухо произнес старик, выпуская изо рта струю дыма.
- Да, учитель. Хотя, Олаф долго ругался и кричал, что это не его, а ваша задача, учить меня.
Старик расхохотался, что вызвало новый приступ кашля.
- Не переломился, небось, тебя обучая... Ладно Лео, покажи, как вы, в этой дыре, вычисляете, скажем, корень из семи.
Вычисление квадратных корней, было по сути самой сложной математической операцией, доступной жителям общины, что-то более сложное попросту никому не требовалось и потому никого не интересовало.
Лео стал быстро набрасывать общий ход решения задачи.
- Корень из семи это число, которое больше двух, но меньше трех, поэтому его можно записать ввиде или возведя в квадрат . Отбросив квадрат, так как он дает малую прибавку получим , что дает нам первое приближение , чтобы его улучшить проведем процедуру еще раз. Имеем,
или , отбрасывая квадрат получим, что , и тогда улучшеное приближение будет таким , так можно и дальше продолжать, только числа больно неудобными становятся.
- Я тебе, балбесу, какую науку вчера преподавал, не смей мне говорить про неудобные числа - рассердился старик. - Что сидишь, разложи в непрерывную дробь.
Мальчик снова принялся чертить на песке, время от времени шевеля губами пытаясь не запутаться в арифметических действиях. Наконец он с довольным видом показал результат учителю.
- Неплохо, а теперь отбрось эти пятерки и посмотри, что получится.
- Но результат будет не точным. - возразил Лео.
- Ой, умный какой нашелся, у тебя-то он больно точный, делай что велено.
Лео, с кислой миной, затер нижние члены разложения и пересчитал дробь.
- Вот так гораздо лучше, и следующее приближение посчитать намного проще будет, а насчет точности, не унывай, таким путем ты к ней намного быстрее придешь нежели будешь с гигантскими дробями мучится. - Старик сделал последнюю затяжку и стал выбивать пепел из трубки. - Я тебе вот, что еще скажу, непрерывными дробями можно корни целых чисел напрямую высчитывать. Дело в том, что у квадратного корня такая дробь всегда переодичной будет, смотри как это делается .
А значит у нас , а теперь убьем корень в знаменателе Так мы нашли первое число в разложении корня из семи, дальше действуем аналогично. Теперь мы и второе знаем, найдем третье.Видишь получается, что-то очень похожее на то что было у тебя, но найдем наконец четвертое число.Видишь, дальше все числа будут повторяться, потому что последнее равенство является тем же, с которого мы начинали.
Теперь ты можешь вычислять квадратные корни с любой точностью, если святые отцы от тебя того потребуют, то этот путь может оказаться наиболее быстрым.
- А кубические корни так тоже можно вычислять? - загорелся Лео.
- Какой быстрый, нет кубические так не вычислишь, их разложение не периодично. Но это не значит, что их вообще вычислять нельзя, можно и нужно, и если ты этого не освоишь, то никуда не поедешь, нечего меня на старости лет позорить.
Старик кряхтя лег на сухую землю и закрыл глаза.
- Ладно, а как бы ты стал вычислять кубический корень исходя из своих теперешних познаний?
Лео немного подумав ответил.
- Можно по методу Олафа, если квадрат и куб отбросить, но вычислений там наверняка больше потребуется.
- А что, если ты можешь решать уравнения, квадратные, кубические, какие угодно?
- Если бы мог, то и квадратный корень мог бы таким образом вычислить.
-Верно, что же у нас проблема, как нам разрешить уравнение. - Старик снова сел и принялся чертить. - Есть такой способ, метод касательных называется, им можно вообще любые уравнения решать. Помнишь, я тебе балбесу про касательные рассказывал? Так вот, представь, что мы начиная с некоторой точки строим эти самые касательные, причем следующей точкой берем ту, где предыдущая касательная пересекается с осью абсцисс. Смотри. - Старик быстро набросал рисунок иллюстрирующий эту идею. - Кстати, а помнишь ли ты как строится уравнение касательной в заданной точке?
- Ну, тангенс угла наклона это производная, то есть будет уравнение вида , а константу найдем в два приема, сначала найдем такую прямую, чтобы в точке была равна нулю, а это, очевидно, , а потом подымем эту прямую на , чтобы она соприкасалась с функцией .
- Приятно видеть, что не все мои старания пропали даром. Но раз ты знаешь это, то найди точку в которой касательная пересечется с осью абсцисс.
- Но это означает, что равен нулю , а значит икс будет равен.- Да, метод в том и состоит, что следующую точку мы будем вычислять по этой формуле
Должен признать, что метод сходится не всегда, но когда сходится, то сходится невероятно быстро.
- Я сейчас корень из семи так вычислю, - загорелся Лео.
- Нет, нет, постой, есть способ лучше и проще. Смотри, пусть мы ищем корень из числа , то есть , или, что почти тоже самое . Но тогда можно рассмотреть функцию , и уже вот у этой функции искать ноль. Выпиши сам формулу, которая получается.
Формула теперь была очевидной .- Хорошо, а теперь чтобы окончательно все уяснить, выпиши формулу и посчитай корень пятой степени из семи.
Формула получилась следующей:
А вычисления такими (при начальном значении в три вторые):

А если разложить получившееся число в непрерывную дробь и отбросить малозначащие числа, то .

Старик ухмылялся, глядя на полученный результат, обнажая свои поредевшие зубы.

О формуле Тейлора.

Для начала напомню что это такое:


формула разложения функии в окресности точки "а", причем требуется n+1 кратная дифференцируемость фукции в этой окресности, последнее слагаемое называют остаточным членом, записывать его можно во многих формах.

Сомневаюсь, что найдется кто-либо, кто увидев это равенство впервые в жизни сказал бы, что оно вполне очевидно. Но проблема даже не в этом, а в том что и после вызубривания доказательства вся эта конструкция не сильно проясняется. Впрочем, следует уточнить, пока я ничего особенного не сказал, с потолка взял некоторую сумму, а чтобы она не отличалась от функции, прибавил к ней остаточный член. "За всю Одессу" я конечно говорить не могу, скажу за себя. Смысл доказательства, которое читали нам, состоял в том, что явно указывался вид остаточного члена, в так называемой форме Шлемильха-Роша:
где некая промежуточная точка.
Вот это уже надо доказывать, смысл чего состоял в том, что бралась некая вспомагательная функция (опять же взятая как будто с потолка), показывалось, что она удовлетворяет теореме Ролля, а из этого уже следовал вид остаточного члена.

Что мы после всего этого уяснили? Да по сути ничего. Откуда взялось само разложение? Взято с потолка, тогда почему именно оно? Откуда взялся вид вспомогательной функции в доказательстве? Он совершенно не естественнен и не откуда не вытекает.
Не сложные по сути рассуждения, на самом деле породили серьезную проблему, при всей их правильности смысл разложения Тейлора остался не понят. А между тем, смысл есть. Пойти можно двумя путями. О первом рассказывать не буду, он мало отличается от описаного выше, кому интересно могут почитать учебник Куранта, с моей точки зрения, лучший учебник по мат анализу, из всех что я читал. А второй путь состоит в том, чтобы явно из получить формулу Тейлора (последующие рассуждения так же можно найти в учебнике Куранта).
По формуле Ньютона-Лейбница:
Проинтегрируем правую часть равенства по частям, с учетом того, что тогдаВот мы и получили второй член разложения ряда Тейлора, впрочем сам член мало интересен, его можно и без всякого Тейлора найти, но мы заодно получили и явный вид остаточного члена и, что самое главное, теперь понятно как действовать дальше, надо просто еще раз проинтегрировать по частям. На последок, выпишем остаточный член в общем случае