Пусть в магазине продаются яблоки, груши и апельсины, мы хотим приобрести восемь фруктов, причем соотношения между количествами фруктов может быть любым. Сколько существует разных наборов из восьми фруктов?
Задача сама по себе примитивная, но к ней нужен правильный подход. А идея в следующем, любой набор фруктов можно закодировать нулями и единицами. Сначала запишем столько нулей, сколько куплено яблок. Теперь, чтобы отделить яблоки от груш, напишем единицу, и теперь уже напишем столько нулей сколько у нас груш, снова напишем единицу и наконец нулями закодируем апельсины. Например 0000010001, означает что у нас пять яблок и три груши, апельсинов нет. Понятно, что так можно закодировать любую покупку, но теперь уже видно как решить задачу. У нас всегда будет восемь нулей и две единицы, то есть десять знаков. Так сколькими же способами можно выбрать две единицы из десяти знаков? Понятно что это есть число сочетаний из 10 по 2. Ну а если у нас m видов фруктов и n фруктов мы собираемся купить? Тогда, кодируя тем же способом, единиц у нас будет m-1, а способов соответственно
ну или что тоже самое
Теперь "разложим" это число по следующему принципу, выделим сначала количество способов которым можно выбрать n фруктов, но при этом туда не входят фрукты первого типа (то есть выбрать n фруктов из m-1 типа), теперь выделим число способов в которые входит только один фрукт первого типа (то есть нужно выбрать n-1 фрукт из m-1 типа), ну и так далее, соответственно, если если у нас k фруктов первого типа, то возможностей выбора остальных у нас 
Понятно, что так мы исчерпаем все возможные наборы и это дает нам возможность записать равенство
заменяя m на m+2, получим
ну и чтобы индексы у нас менялись только в нижней части перепишем равенство ввиде 
Рассмотрим теперь частные случаи для m равного 1 и 2. Выпишем сразу в числах.Для m = 1:
Ни что иное как формула арифметической прогрессии. Само соотношение малоинтересно, потому что мы его и так знаем, еще со школы и для доказательства равенства вовсе не требуется городить теорию изложенную выше, а вот следующее соотношение не столь тривиально.Для m = 2:
Умножим правую и левую части на 2, чтобы получить совсем красивое соотношение
Теперь, можно заметить, что 
и отсюда получаем формулу для суммы квадратов 
Точно также можно рассматривать случаи когда m равно 3 и выше, получая новые равенства.Замечу, что в школе подобные равенства встречаются когда проходят мат. индукцию, там они служат в качестве задач для усвоения этой самой индукции. Но соотношения появляются как будто из ниоткуда, и каким образом они изначально пришли кому-то в голову совершенно не ясно. Ну не сидели же математики выписывая разные суммы и пытаясь найти для них общие формулы. Мы же, отталкиваясь от некоторой комбинаторной задачи, пришли к этим соотношениям естественным путем.
Комментариев нет:
Отправить комментарий